鲜花：钦定与至少

以 CSP T4 为契机，昨晚和小玉米夜♂聊，终于解清了这个产生了很久的困惑。

简单来说，至少会算多，不会算重，如一个三位二进制，至少两位是 $1$ ，那么就是四种可能： $011, 101, 110, 111$ 。那么至少两位减去至少三位就是恰好两位的方案，所以是容斥。

而钦定会算重，如一个三位二进制，钦定两位是 $1$ ：

实际算一下，设 $f_{i}$ 表示恰好 $i$ 位是 $1$ ， $g_{i}$ 表示钦定 $i$ 位是 $1$ 。

$g_{2} = (\binom{3}{2}) \times 2 = 6$ ，与前面的枚举成立。

$g_{3} = (\binom{3}{3}) = 1$ 。

$f_{2} = (- 1)^{2 - 2} \times (\binom{2}{2}) \times g_{2} + (- 1)^{3 - 2} \times (\binom{3}{2}) \times g_{3} = 3$ ，二项式反演成立。

鲜花：钦定与至少 ​